Varianzreduzierende Verfahren der Monte-Carlo-Simulation und deren Anwendung bei der Bewertung von Bandbreitenoptionen

Inhaltsangabe:Einleitung: 
Seit Anfang der achtziger Jahre werden an den internationalen Finanzmärkten immer wieder neue derivative Finanzinstrumente entwickelt, zu denen sich keine Bewertung anhand einer analytischen Lösung finden läßt. Eine Methode der Optionsbewertung - neben der numerischen Integration - ist die Schätzung des Optionspreises durch die sogenannte Monte-Carlo-Simulation. 
Die Monte-Carlo-Methode ist ein "Verfahren der stochastischen Simulation zur näherungsweisen Bestimmung von mathematischen Größen, die abhängig vom Zufall (Verteilungsfunktionen) sind". 
Die Vorteile dieses Verfahrens sind die Flexibilität in Bezug auf die Verteilung, mit der die Wertpapierpreisentwicklung beschrieben wird, und die Einfachheit der Implementierung der Methode. Ebenfalls kann man die Monte-Carlo-Simulation als Kontrollverfahren für andere Bewertungsverfahren benutzen. 
Die Nachteile der Monte-Carlo-Simulation sind zum einen, daß das Ergebnis der Simulation durch die Beeinflussung von Zufallseffekten ebenfalls als Zufallsvariable anzusehen ist', so daß der Fehler einer Simulation ebenfalls vom Zufall abhängt und nicht exakt vorherbestimmt werden kann, zum anderen weist die Monte-Carlo-Simulation ein langsames Konvergenzverhalten hinsichtlich des exakten Ergebnisses auf, so daß häufig ein hoher Simulationsumfang angewendet werden muß. 
Phelim P. Boyle war 1977 der erste Wirtschaftswissenschaftler, der die Monte-Carlo-Simulationstechnik zur Bewertung von Optionen einführte. Hierbei simulierte er durch Computerprogrammierung mögliche Kursverläufe eines unbestimmten Wertpapiers N-mal und leitete anhand der simulierten Schlußkurse zum Fälligkeitstermin die Payoffs einer europäischen Call-Option her. Die Summe der Payoffs teilte er daraufhin durch die Gesamtzahl der Simulationsdurchläufe (N) und erhielt so einen unverzerrten Schätzer für den Wert der Option. 
Boyle erkannte, daß die Präzision des so ermittelten Schätzers vom Umfang der Simulation (N) abhängig ist und führte bereits zwei varianzreduzierende Verfahren ein, um den Fehler der Simulation zu verringern, ohne den Umfang der Simulation zu erhöhen. 
Seit 1977 hat sich die Monte-Carlo-Simulation als Instrument zur Bewertung von derivativen Wertpapieren etabliert. Das Verfahren wurde benutzt um komparative Preise für andere Bewertungstechniken zu entwickeln, häufiger kam die Methode jedoch zum Einsatz, wenn kein analytischer Bewertungsansatz gefunden werden konnte. Dies war und ist oft der Fall, […]